目标：推导并记住 $y \propto \dfrac{V_{\mathrm{def}}}{V_{\mathrm{acc}}}$

1) 加速段：$V_{\mathrm{acc}}\rightarrow v$

非相对论近似（动能来自电势能）： $$ eV_{\mathrm{acc}}=\frac12 m_e v^2 \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2eV_{\mathrm{acc}}}{m_e}}. $$

2) 偏转板内：$V_{\mathrm{def}}\rightarrow E_y\rightarrow a_y\rightarrow y_1$

偏转板间距 $d$，电场近似均匀： $$ E_y \approx \frac{V_{\mathrm{def}}}{d}. $$ 电场力与加速度： $$ F_y=eE_y,\qquad a_y=\frac{F_y}{m_e}=\frac{e}{m_e}\frac{V_{\mathrm{def}}}{d}. $$ 偏转板长度 $l$，板内飞行时间 $t_1=l/v$。板内位移（初始 $v_y=0$）： $$ y_1=\frac12 a_y t_1^2 = \frac12\frac{e}{m_e}\frac{V_{\mathrm{def}}}{d}\cdot\frac{l^2}{v^2}. $$

3) 漂移段：$v_y\rightarrow y_2$

出板获得横向速度： $$ v_y=a_y t_1=\frac{e}{m_e}\frac{V_{\mathrm{def}}}{d}\cdot\frac{l}{v}. $$ 漂移段长度 $L_d$，漂移时间 $t_2=L_d/v$，漂移位移： $$ y_2=v_y t_2=\frac{e}{m_e}\frac{V_{\mathrm{def}}}{d}\cdot\frac{lL_d}{v^2}. $$

4) 合并得到比例关系（最重要的“记忆式”）

$$ \begin{aligned} y &= y_1+y_2 = \frac{e}{m_e}\frac{V_{\mathrm{def}}}{d}\cdot\frac{l^2/2+lL_d}{v^2},\\ v^2&=\frac{2eV_{\mathrm{acc}}}{m_e} \end{aligned} \quad\Rightarrow\quad y=\frac{V_{\mathrm{def}}}{V_{\mathrm{acc}}}\cdot\frac{l^2/2+lL_d}{2d}. $$ 因此（几何量固定时）： $$ y \propto \frac{V_{\mathrm{def}}}{V_{\mathrm{acc}}}. $$

记忆法：$V_{\mathrm{acc}}$ 越大 $\Rightarrow v$ 越大 $\Rightarrow$ 在偏转区“停留时间”更短 $\Rightarrow$ 同样 $V_{\mathrm{def}}$ 偏转更小。

5) 数字示波器：采样与量化（两条必会公式）

• 采样时刻：$\;t_n = n/f_s$（采样率 $f_s$）
• 量化台阶（满量程 $\pm A$，位数 $N_{\mathrm{bits}}$）：
  $$
  \Delta \approx \frac{2A}{2^{N_{\mathrm{bits}}}},\qquad
  e_q\in\left[-\frac{\Delta}{2},\frac{\Delta}{2}\right]
  \quad(\text{理想均匀量化}).
  $$
• 混叠（定性记忆）：当信号频率接近/超过 $f_s/2$，会折叠为低频；常用写法：
  $$
  f_{\mathrm{alias}}=\lvert f-kf_s\rvert
  \quad(\text{取整数 }k\text{ 使 }f_{\mathrm{alias}}\in[0,f_s/2]).
  $$

目标：从 Beer–Lambert $\rightarrow$ Radon $\rightarrow$ BP/FBP

1) 透射与“投影数据”

设截面衰减系数为 $\mu(x,y)$（单位 $ \mathrm{m^{-1}}$）。沿一条射线 $L(\theta,s)$： $$ I_{\mathrm{out}} = I_{\mathrm{in}}\exp\!\left(-\int_{L(\theta,s)} \mu\,ds\right). $$ 取对数得到更“线性”的投影量： $$ p(\theta,s):=-\ln\!\left(\frac{I_{\mathrm{out}}}{I_{\mathrm{in}}}\right) = \int_{L(\theta,s)} \mu\,ds. $$ 这一步说明：CT 的核心数据不是照片，而是“线积分”。

2) Radon 形式：用 $(\theta,s)$ 描述一条直线

直线方程（法向量角度为 $\theta$）： $$ x\cos\theta + y\sin\theta = s. $$ 于是 $p(\theta,s)$ 就是对满足该方程的直线做积分（即 Radon 变换的输出）。把 $\theta$ 作为横轴、$s$ 作为纵轴排成图，就是 sinogram。

3) “点 $\rightarrow$ 正弦线”的由来（最常考）

若只看某个点 $(x_0,y_0)$ 的贡献，它在角度 $\theta$ 下投影到 $$ s(\theta)=x_0\cos\theta+y_0\sin\theta, $$ 这是随 $\theta$ 正弦变化的函数，因此在 sinogram 上画出一条“正弦轨迹”。

4) 简单反投影（BP）：把投影“沿原方向铺回去”

反投影（连续形式）的直观表达： $$ \mu_{\mathrm{BP}}(x,y)=\int_0^{\pi} p\!\left(\theta,\,x\cos\theta+y\sin\theta\right)d\theta. $$ BP 的问题：会把点“抹开”成模糊背景（低频偏强），边缘发糊、条纹明显。

5) 滤波反投影（FBP）：先滤波再反投影

FBP 结构（记住“先滤波再反投影”）： $$ \mu_{\mathrm{FBP}}(x,y) =\int_0^{\pi} \bigl(p(\theta,\cdot)*h(\cdot)\bigr)\!\left(x\cos\theta+y\sin\theta\right)\,d\theta. $$ 其中 $h$ 是滤波核；在频域中等价于对每个角度的投影做 ramp filter： $$ P_{\mathrm{filt}}(\omega) = |\omega|\,P(\omega). $$ 直观理解：BP 低频过强 $\Rightarrow$ 乘上 $|\omega|$ 补偿高频 $\Rightarrow$ 边缘更清晰。

6) 角度数 $N_{\mathrm{angles}}$：为何角度少会出条纹

把积分离散成求和： $$ \mu(x,y)\approx \sum_{k=0}^{N-1} p\!\left(\theta_k,\,x\cos\theta_k+y\sin\theta_k\right), \qquad \theta_k=\frac{k\pi}{N}. $$ 当 $N$ 变小，角度域欠采样 $\Rightarrow$ 重建出现条纹伪影（streak artifacts）。

目标：三相“stick 伸缩”叠加出旋转矢量

1) 单相：端点只会往返

教学近似：绕组在某观察点的磁场矢量与电流成正比，且方向沿绕组轴： $$ \mathbf{B}_a(t)=k\,i_a(t)\,\hat{\mathbf{u}}_a,\qquad \hat{\mathbf{u}}_a=\text{常向量}. $$ 单相 $i_a(t)=I_0\sin\omega t$，因此 $\mathbf{B}(t)$ 只在固定方向上正负变化 $\Rightarrow$ 端点轨迹是一条线段（往返）。

2) 三相：合成磁场幅值近恒定且在转

三相电流（相差 $120^\circ$）： $$ \begin{aligned} i_a &= I_0\sin\omega t,\\ i_b &= I_0\sin(\omega t-2\pi/3),\\ i_c &= I_0\sin(\omega t+2\pi/3). \end{aligned} $$ 绕组轴（空间方向也相差 $120^\circ$）： $$ \hat{\mathbf{u}}_a=(1,0),\quad \hat{\mathbf{u}}_b=\bigl(\cos120^\circ,\sin120^\circ\bigr),\quad \hat{\mathbf{u}}_c=\bigl(\cos240^\circ,\sin240^\circ\bigr). $$ 合成： $$ \mathbf{B}(t)=k\bigl(i_a\hat{\mathbf{u}}_a+i_b\hat{\mathbf{u}}_b+i_c\hat{\mathbf{u}}_c\bigr). $$ 利用三角恒等式可得到（关键结果）： $$ B_x(t)=\frac{3}{2}kI_0\sin\omega t,\qquad B_y(t)=-\frac{3}{2}kI_0\cos\omega t. $$ 因此 $$ |\mathbf{B}(t)|=\sqrt{B_x^2+B_y^2}=\frac{3}{2}kI_0=\text{常数}, $$ 端点轨迹为圆（旋转磁场）。

记忆法：三相时“绕组轴固定”，每相 stick 只在自己的轴上变长/变短，但合成矢量端点绕圈且幅值近恒定。

3) 单相 + 电容（两相近似）：椭圆与“接近圆”的条件

把主绕组与辅绕组近似成两正交分量： $$ B_x = kI_0\sin\omega t,\qquad B_y = k(rI_0)\sin(\omega t-\varphi). $$ 一般为椭圆；当 $r\approx 1$ 且 $\varphi\approx 90^\circ$ 时更接近圆。

目标：从 RLC 放电得到 $I(t)$，再到 $F(t)\propto I^2$ 与能量分配

安全边界：仅讨论理想化电路/物理与能量观点，不涉及任何现实可执行制造或操作。

1) 串联 RLC 放电：标准二阶方程

KVL（无外加源）： $$ L\frac{di}{dt}+Ri+V_C=0, \qquad i=-C\frac{dV_C}{dt}. $$ 消去 $i$： $$ \frac{d^2V_C}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dV_C}{dt}+\frac{1}{LC}V_C=0. $$ 定义 $$ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad \alpha=\frac{R}{2L}. $$

2) 欠阻尼解（最常见、最直观）

当 $\alpha<\omega_0$，令 $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}$，在初始条件 $V_C(0)=V_0$、$i(0)=0$ 下： $$ V_C(t)=V_0e^{-\alpha t}\left[\cos(\omega_dt)+\frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_dt)\right], $$ $$ i(t)=\frac{V_0}{L\omega_d}\,e^{-\alpha t}\sin(\omega_dt). $$ 结论：线性系统中 $i(t)\propto V_0$（加倍 $V_0$ 电流整体加倍）。

3) 教学近似：$I^2$ 力与运动学

常用近似（能量法写法）： $$ F(t)\approx \frac12 L' \,i(t)^2. $$ 于是 $$ a(t)=\frac{F(t)}{m},\quad v(t)=\int a(t)\,dt,\quad x(t)=\int v(t)\,dt, $$ 并可加入简化摩擦：$a_{\mathrm{eff}}\approx F/m-\mu g$（同时用 $v\ge 0$ 夹紧体现损耗）。

4) 能量观点（最稳的自检）

初始电容能量： $$ E_0=\frac12 CV_0^2. $$ 各部分能量（随时间）： $$ E_C=\frac12 C V_C^2,\quad E_L=\frac12 Li^2,\quad E_R(t)=\int_0^t i^2R\,dt,\quad E_K=\frac12 mv^2,\quad E_f\approx \mu m g x. $$ 在理想/近似范围内应满足： $$ E_C+E_L+E_R+E_K+E_f\approx E_0. $$

5) 缩放律（课堂预测题好用）

因为 $i\propto V_0$，所以 $$ F\propto i^2 \propto V_0^2. $$ 在其它参数不变的教学范围内，出口速度/位移的量级往往也随 $V_0^2$ 明显增长（用于理解趋势）。

目标：得到 $r\propto \sqrt{m/q}/B$，并理解“落点分离”

1) 加速：$V_{\mathrm{acc}}\rightarrow v$

$$ qV_{\mathrm{acc}}=\frac12 mv^2 \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2qV_{\mathrm{acc}}}{m}}. $$

2) 匀强磁场偏转：$B\rightarrow r$

速度垂直于 $\mathbf{B}$ 时，磁力提供向心力： $$ |q|vB=\frac{mv^2}{r} \quad\Rightarrow\quad r=\frac{mv}{|q|B}. $$ 代入 $v$： $$ r=\sqrt{\frac{2mV_{\mathrm{acc}}}{|q|B^2}}. $$ 结论（记住比例）： $$ r\propto \frac{\sqrt{m/|q|}}{B},\qquad r\propto \sqrt{V_{\mathrm{acc}}},\qquad r\propto \frac{1}{B}. $$

3) 速度选择器：$v=E/B$

交叉场选速（理想化）： $$ qE=qvB \quad\Rightarrow\quad v=\frac{E}{B}. $$ 进入偏转磁场后： $$ r=\frac{mv}{|q|B}=\frac{mE}{|q|B^2}. $$

4) 探测屏落点（与页面几何一致）

粒子从原点沿 $+x$ 进入磁场，圆弧参数式： $$ x=r\sin\theta,\qquad y=r(1-\cos\theta). $$ 屏幕为 $x=x_{\mathrm{det}}$，则 $$ \sin\theta=\frac{x_{\mathrm{det}}}{r}, \qquad y_{\mathrm{hit}}=r\left(1-\sqrt{1-(x_{\mathrm{det}}/r)^2}\right). $$ 因此不同 $m/q\Rightarrow r$ 不同 $\Rightarrow y_{\mathrm{hit}}$ 分离。

目标：把“电压 $\rightarrow$ 波长”与“磁透镜 $\rightarrow$ 聚焦”串起来

1) 德布罗意波长：$V\rightarrow \lambda$

非相对论近似： $$ p=\sqrt{2m_eeV},\qquad \lambda=\frac{h}{p} \quad\Rightarrow\quad \lambda(V)=\frac{h}{\sqrt{2m_eeV}}. $$ 结论：$\lambda\propto 1/\sqrt{V}$。

2) 为什么“电压更高更难聚焦”（高中可接受的量级推导）

磁场只改变动量方向。横向动量改变量级 $\Delta p_\perp\sim qBl$（有效长度 $l$），纵向动量 $p\sim \sqrt{V}$，故偏转角量级 $$ \theta\sim \frac{\Delta p_\perp}{p}\propto \frac{B}{\sqrt{V}}. $$ 因此在同样线圈电流（同样 $B$）下，$V$ 越大，束线越“硬”，聚焦更弱（焦距更长）。

3) 薄透镜近似：一条最常用的“束线公式”

把束线视作小角度光线，透镜处横向坐标 $y$，入射角 $\theta_{\mathrm{in}}$。薄透镜角度跳变： $$ \theta_{\mathrm{out}}=\theta_{\mathrm{in}}-\frac{y}{f}. $$ 焦距 $f$ 越小聚焦越强；改变 $f$ 会改变屏上束斑大小，并通常出现“最佳聚焦”附近的最小束斑。

目标：得到 $\omega_c=|q|B/m$，理解“共振/失谐”

1) 回旋角频率：磁场 $\rightarrow$ 绕圈

$$ |q|vB=\frac{mv^2}{r} \quad\Rightarrow\quad \frac{v}{r}=\frac{|q|B}{m}=: \omega_c. $$ 非相对论下 $\omega_c$ 与半径无关，是“固定 RF 也能一直加速”的关键。

2) 缝隙加速：相位决定加速还是减速

若缝隙电压 $V_{\mathrm{gap}}(t)=\hat V\sin(\omega_{\mathrm{rf}}t)$，粒子第 $n$ 次过缝隙时刻为 $t_n$，能量增量（教学量级）： $$ \Delta K_n \approx q\,V_{\mathrm{gap}}(t_n). $$ 当 $\omega_{\mathrm{rf}}\approx \omega_c$ 且相位选择合适，$\Delta K_n$ 多为正，能量逐次累积。

3) 失谐：相位漂移导致“有时推有时拉”

若 $\omega_{\mathrm{rf}}\ne \omega_c$，到达相位 $\phi_n=\omega_{\mathrm{rf}}t_n$ 会随 $n$ 漂移，导致 $\Delta K_n$ 符号与大小变化，平均加速变差甚至抵消。

4) 相对论效应（经典回旋加速器的限制）

能量升高使 $\gamma$ 增大，回旋频率变为 $$ \omega_c=\frac{|q|B}{\gamma m},\qquad \gamma=1+\frac{K}{mc^2}. $$ 即使初始对准，也会逐步失谐。

目标：推导漂移管长度 $L_n\approx v_nT/2$

1) 缝隙加速：相位同步

把 RF 场写成 $E_z(t)=\hat E\cos(\omega t)$。若缝隙长度为 $g$，等效电压近似 $$ V_{\mathrm{gap}}\approx \hat E\,g. $$ 粒子在第 $n$ 次穿越缝隙时刻 $t_n$ 的能量增量（教学写法）： $$ \Delta K_n \approx qV_{\mathrm{gap}}\cos(\omega t_n+\phi_0). $$ 要持续加速，就要让 $\cos(\cdot)$ 尽量保持为正且不太小。

2) 漂移管：让粒子“等半个周期再出来”

漂移管内近似无场（不加速），作用是让粒子用时间对齐 RF 翻转。常取（$\pi$ 模式直觉）： $$ \Delta t_n \approx \frac{T}{2}=\frac{1}{2f}. $$ 若该段漂移的速度近似 $v_n$，则长度应满足： $$ L_n\approx v_n\Delta t_n \approx v_n\frac{T}{2}. $$ 速度随能量升高而增大 $\Rightarrow L_n$ 逐级变长。

3) 固定长度为何会相位漂移

若 $L_n$ 固定，则 $\Delta t_n=L/v_n$ 会随 $v_n$ 增大而变小，导致到达相位逐步偏离最佳值，出现加速变差甚至减速。

目标：从法拉第定律得到匝比，再连到功率因数

1) 匝比：$V_s/V_p=N_s/N_p$

理想变压器假设：两线圈耦合到同一主磁通 $\Phi(t)$。由法拉第定律： $$ v_p(t)=N_p\frac{d\Phi}{dt},\qquad v_s(t)=N_s\frac{d\Phi}{dt}. $$ 相除： $$ \frac{v_s}{v_p}=\frac{N_s}{N_p} \quad\Rightarrow\quad \frac{V_{s,\mathrm{rms}}}{V_{p,\mathrm{rms}}}=\frac{N_s}{N_p}. $$

2) 电流比：由理想功率守恒得到

忽略损耗： $$ V_pI_p\approx V_sI_s \quad\Rightarrow\quad \frac{I_s}{I_p}\approx \frac{V_p}{V_s}\approx \frac{N_p}{N_s}. $$

3) RL 负载：阻抗与功率因数

负载阻抗： $$ Z=R+j\omega L,\qquad |Z|=\sqrt{R^2+(\omega L)^2}. $$ 相位滞后： $$ \varphi=\arctan\!\left(\frac{\omega L}{R}\right), \qquad(\text{电流滞后电压 } \varphi). $$ 有功/视在/无功功率： $$ P=VI\cos\varphi,\qquad S=VI,\qquad Q=VI\sin\varphi,\qquad \cos\varphi=\frac{R}{|Z|}. $$

目标：一套方程记住 $\omega_0$、$\alpha$ 与三种阻尼

1) 标准二阶方程与参数

串联 RLC 放电（电容电压）： $$ \frac{d^2V_C}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dV_C}{dt}+\frac{1}{LC}V_C=0, \qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\quad \alpha=\frac{R}{2L}. $$ 分类： $$ \alpha<\omega_0\ (\text{欠阻尼}),\quad \alpha=\omega_0\ (\text{临界阻尼}),\quad \alpha>\omega_0\ (\text{过阻尼}). $$

2) 欠阻尼解（本仓库图像主要用它）

令 $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}$： $$ V_C(t)=V_0e^{-\alpha t}\left[\cos(\omega_dt)+\frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_dt)\right], $$ $$ I(t)=\frac{V_0}{L\omega_d}\,e^{-\alpha t}\sin(\omega_dt). $$

3) Q 值（常用近似）

$$ Q\approx \frac{\omega_0L}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}. $$ Q 大 $\Rightarrow$ 损耗相对小、衰减慢，但带宽更窄、对参数更敏感。

4) 能量交换与耗散（自检）

$$ E_C=\frac12 CV_C^2,\quad E_L=\frac12 LI^2,\quad E_R(t)=\int_0^t I^2R\,dt, \quad E_C+E_L+E_R\approx \frac12 CV_0^2. $$

目标：用阻抗矩阵得到 $I_1,I_2$ 与效率 $\eta(f)$

1) 互感与 Q 值

互感用耦合系数表示： $$ M=k\sqrt{L_1L_2},\qquad 0\le k\le 1. $$ Q 值（常用定义）： $$ Q\approx \frac{\omega_0L}{R}. $$

2) 频域方程（相量法）

各回路阻抗： $$ Z_1=R_1+j\omega L_1+\frac{1}{j\omega C_1},\quad Z_2=(R_2+R_L)+j\omega L_2+\frac{1}{j\omega C_2}. $$ 耦合项为 $j\omega M$。列方程： $$ Z_1I_1+j\omega MI_2=V_s,\qquad j\omega MI_1+Z_2I_2=0. $$ 解得： $$ I_1=\frac{V_sZ_2}{Z_1Z_2-(j\omega M)^2},\qquad I_2=-\frac{V_s(j\omega M)}{Z_1Z_2-(j\omega M)^2}. $$

3) 功率与效率

$$ P_{\mathrm{in}}=\frac12\Re\{V_s I_1^*\},\qquad P_L=\frac12 |I_2|^2R_L,\qquad \eta=\frac{P_L}{P_{\mathrm{in}}}. $$

4) 双峰的来源（强耦合的两个正常模）

当 $k$ 较大且损耗较小（Q 大），系统更像两个耦合振子，出现两个正常模频率，效率曲线可能分裂成双峰。

目标：从受力平衡得到 $V_H=\dfrac{IB}{nqt}$，并用符号判定载流子类型

1) 受力平衡：磁力 $\leftrightarrow$ 电场力

载流子漂移速度 $v_d$（沿电流方向），在磁场 $B$ 中受磁力 $qv_dB$。堆积产生霍尔电场 $E_H$，平衡： $$ qE_H=qv_dB \quad\Rightarrow\quad E_H=v_dB. $$

2) 用电流 $I$ 消去 $v_d$

电流密度： $$ J=nqv_d. $$ 若样品宽 $w$、厚 $t$，截面积 $A=wt$，电流： $$ I=JA=nqv_dwt \quad\Rightarrow\quad v_d=\frac{I}{nqwt}. $$ 代回 $E_H=v_dB$ 并乘以宽度 $w$ 得霍尔电压： $$ V_H=E_Hw=\frac{IB}{nqt}. $$ 符号由 $q$ 决定：电子 $q<0\Rightarrow V_H<0$，空穴 $q>0\Rightarrow V_H>0$。

3) 霍尔系数

$$ R_H:=\frac{E_H}{JB}=\frac{1}{nq}. $$ 测得 $R_H$ 的符号即可判断主要载流子类型。

目标：用一套方程说明“扬声器/麦克风互逆”（$BL\cdot I$ 与 $BL\cdot v$）

1) 机械受迫振动（统一写法）

单自由度模型： $$ m\ddot x+b\dot x+kx=F(t). $$ 正弦稳态（相量）： $$ X=\frac{F}{Z_m},\qquad Z_m = k-m\omega^2+jb\omega. $$

2) 扬声器：$V_{\mathrm{in}}\rightarrow I\rightarrow F=BL\,I\rightarrow x$

线圈电阻抗： $$ Z_e=R_{\mathrm{coil}}+j\omega L_{\mathrm{coil}}, \qquad I=\frac{V_{\mathrm{in}}}{Z_e}. $$ 力因子（互逆常数） $BL$： $$ F=(BL)\,I \quad\Rightarrow\quad X=\frac{BL}{Z_m}\cdot\frac{V_{\mathrm{in}}}{Z_e}. $$ 因此：电感 $L_{\mathrm{coil}}$ 改变电流相位；机械共振使 $|Z_m|$ 变小，从而位移变大。

3) 麦克风：$F_{\mathrm{ext}}\rightarrow x\rightarrow v\rightarrow e=BL\,v$

外力驱动： $$ X=\frac{F_{\mathrm{ext}}}{Z_m},\qquad v=j\omega X. $$ 动圈切割磁场产生感应电动势（互逆）： $$ e=(BL)\,v=j\omega(BL)\,X. $$ 更完整的电路输出还应考虑线圈阻抗与负载分压；教学演示中常取 $V_{\mathrm{out}}\approx e$ 来突出互逆关系与频率趋势：$|e|\propto \omega$。

4) 互逆性一句话

同一个 $BL$ 同时出现在 $$ F=BL\cdot I,\qquad e=BL\cdot v, $$ 所以改变 $BL$ 会同时影响“受力能力”和“感应电压能力”。

目标：从法拉第定律得到集肤深度 $\delta\approx\sqrt{\dfrac{2\rho}{\omega\mu}}$，再理解功率趋势

1) 频率为何“放大”感应效应

法拉第定律： $$ \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d\Phi}{dt}. $$ 若 $\Phi(t)=\hat\Phi\sin\omega t$，则 $$ \left|\frac{d\Phi}{dt}\right|_{\mathrm{peak}}=\omega\hat\Phi, $$ 因此感应电场的量级随 $\omega$ 增大而增大（趋势记忆：$E_{\mathrm{ind}}\propto \omega B$）。

2) 涡流与焦耳热（局部形式）

电导率 $\sigma=1/\rho$： $$ \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E},\qquad p=\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}=\sigma E^2=J^2\rho. $$ 在几何相近的教学近似下，常见趋势： $$ P \propto \frac{\omega^2B^2}{\rho} \quad(\text{忽略集肤}). $$

3) 集肤深度（结果会用即可）

高频下场量向导体内部指数衰减 $E(x)\sim E_0e^{-x/\delta}$。集肤深度的标准结果： $$ \delta=\sqrt{\frac{2\rho}{\omega\mu}}, \qquad \mu\approx \mu_0\mu_r. $$ 趋势： $$ \delta\propto \frac{1}{\sqrt f},\qquad \delta\propto \sqrt{\rho}. $$

4) 厚度 $t$ 与“有效体积”

当 $t\gg\delta$ 时，主要是表面一层发热，继续增厚收益不明显；当 $t\sim\delta$ 时，更多体积参与。 教学上可用一个“参与因子”表达： $$ \text{fill}\approx 1-e^{-t/\delta}, \qquad P_{\mathrm{rel}}\sim \frac{\omega^2B^2}{\rho}\cdot(1-e^{-t/\delta}). $$